17. 특성 방정식(Characteristic Equation)

이번 강의에서는 지난 시간에 배운 새로운 벡터 공간의 개념을 바탕으로 고유벡터와 고유값을 더 이해하고 특성 방정식(Characteristic Equation)을 통해 이들을 구하는 법을 알아봅시다.

 

 

Eigenvector와 Eigenvalue를 만족시키는 기본적인 식이 $(A-\lambda I)x=0$ 입니다. $\lambda$ 정해졌다면 위에 식에 대한 Null space를 찾으면 그것이 $x$입니다.

 

 

다음과 같이 $A-\lambda I$를  뺏는데 나온 행렬의 차원을 보면 Row 차원의 벡터들이 중복되어 있어서 벡터들로 만들 수 있는 것은 선 하나입니다. 여기서 Eigenvalue는 3으로 사용했습니다. 3을 사용해서 Lineary independent하게 만들어 줬습니다. 여기서 Row 벡터들의 차원이 총 3차원 중 1차원을 사용했으니 Eigenvactor의 차원은 2차원이 된다는 것입니다.

 

다음은 $-\frac{6}{5}$를 곱해주면 찾을 수 있는 벡터들로만 이루어졌습니다.

총 차원이 2차원인데 지금 1차원을 사용했으니 x벡터 (Eigenvector)는 1차원밖에 없습니다.

 

 

 

Eigenvalue를 찾는 방법

 

지금 Eigenvalue를 Diagonal matrix에 곱해서 행렬에 더했을 때 선형종속이 되는 결과가 나왔습니다. 선형종속이 되는 결과가 나왔습니다, 이건 역행렬이 없을 때와 유사합니다. Linear dependent같은 행렬이어야 basis벡터를 찾아 그것을 Eigenvector로 설정해야 되기 때문입니다. 선형 종속의 경우 matrix의 모양과 상관없이 찾을 수가 있는데 역행렬의 경우 square matirx에서만 찾을 수 있습니다. 이것을 Characteristic Equation(특성 방정식)이라고 합니다.

 

 

$(A-\lambda I)$의 스페이스의 Null space를 Eigenspace라고 합니다. 이때 $\lambda$가 8일 때 Eigenspace에서

이 Eigenspace에서 벡터를 뽑아서 A에 곱해보면 $Ax=\lambda x$를 만족하며 방향은 바뀌지 않고 길이만 8로 바뀌게 됩니다.