16. 영공간과 직교여공간

Null space는 $Ax = 0$을 만족시키는 $x$들의 집합을 Null space of A라고 합니다.

- Rectangular matrix에도 적용이 가능합니다.

 

$ \left [ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right] \left [ \begin{matrix} x \\ y  \end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0  \end{matrix} \right]$

 

다음과 같이 행렬 연산을 했을 때 0이 나오게하는 column vector를 찾아야 합니다. (행렬에 대해 수직인 x, y)

 

 

다음과 같이 $a^T$들과 내적했을 때 전부 0이 나오는 수직인 x를 찾고 모아둔 것이 Null space입니다. 이

 

$ \left [ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right]$

 

여기서 행렬의 각 column들이 선형독립입니다. 즉 영벡터를 사용해야만 위의 식을 만족할 수 있습니다.

- 선형독립일 경우에는 x, y가 0이여야 지난 가능합니다.

- 이 경우 Null A = {0} 

 

 

다음과 같이 2차원에 존재하는 $x_1, x_2$의 값은 $[1 , 2], [3 , 4], [5, 6]$과 수직이여야 합니다. 

 

 

coulmn space는 3차원 Row space는 2차원인 행렬입니다. Row space 상으로 봤을 때 1, 2 벡터랑 3, 4 벡터는 서로 종속되어 있지 않으니 이 두 벡터를 사용해서 평면을 만들 수 있습니다. x와 내적 하면 0이 되어야 하니 간단히 생각하면 x가 해당 벡터의 재료벡터가 되면 됩니다.

 

- 위의 그림을 보면 조금 더 이해하기가 쉽습니다.

- 재료 벡터의 조건이 수직이니 곱하면 0이 되는 것입니다.

 

 

$a^Tx = 0$

 

다음과 같이 column vector 2개가 존재할 때 이 두 벡터를 0으로 만들어주는 벡터는 1개만 존재합니다. 재료벡터 자리가 1자리 밖에 없기 때문입니다. Row space의 경우에는 이미 재료벡터가 차있어서 영벡터 밖에 만족을 못합니다.

 

 

Null space가 subspace인 이유는 $Az = 0, (z = [x, y])$를 만족시키는 모든 집합이 Null spcae입니다.

 

$x \in $Null ,$ y \in $Null

$ax + by \in $Null

에서 $ax + by$ 이 값을 사용해서 내적해도 0이 되는지를 보면 subspace인지 아닌지를 알 수 있습니다.

애초에 x, y를 해당 행렬의 basis 벡터로 가져온거라 만족할 수 밖에 없고 subspace가 됩니다.