5. 전치행렬, 치환행렬, 벡터 공간(Transposes, Permutations, Spaces R^n)

 

치환행렬 (Permuation matrix)은 P라고 표기하며 행 교환을 해줍니다. $PA = LU$ 행 교환이 이루지는 행렬에 대한 소거를 배워보겠습니다. P는 재정렬된 행이 있는 단위행렬입니다. 

 

행을 교환할 수 있는 가짓수는 몇 개가 있을까요? 팩토리얼로 나타낼 수 있습니다.

• $n! = n(n-1) + ... + 2 + 1$ 

이렇게 $n \times n$ 치환의 재정렬 가짓수를 계산할 수 있습니다. 치환행렬의 특징은 $P^{-1} = P^T$ 전치하면 역행렬을 구할 수 있어서 우리가 바꿨던 행들을 다시 원래대로 복구할 수 있습니다.

 

 

 

대칭행렬 (Symmetric matrices)

 

이 행렬은 전치를 통해서 행렬이 바뀌지 않습니다. 어떻게 하면 대칭행렬을 얻을 수 있을까요?

 

 

다음과 같은 rectangular matrix가 존재할 때 

 

 

이 행렬을 전치하면 원소들 뿐만아니라 shape도 달라지게 됩니다. 여기서 대칭행렬을 얻을려면 전치 전 행렬과 전치 후 행렬을 곱하면 됩니다.

 

- $R^TR$ is always symmetric matrix

 

 

이것을 수식으로 설명하면

$(R^TR)^T = R^TR^{TT} = R^TR$

전치를 두번하면 원래 값이 나오니 대칭행렬이 되는 것입니다.

 

 

벡터공간 (Vector spaces)

 

벡터공간과 부분공간(subspcae) 무엇일까요? 

벡터공간은 벡터가 필요한 작업을 수행할 수 있어야합니다. 벡터를 더하거나 곱하거나 선형결합을 할 수 있어야합니다.

 

$R^2$를 예시로 보겠습니다. $R^2$는 두 개의 실수에 대한 공간입니다. 여기 존재하는 벡터는 모두 2차원 벡터입니다.

- 모든 벡터가 그 공간에 존재해서 그곳을 벡터공간이라고 부름

 

$R^3$는 3개의 성분을 가진 모든 벡터가 존재하는 곳입니다. 즉 $R^n$ 공간에서 모든 벡터는 n개의 성분을 가집니다.

 

벡터공간이 아닌 것은 무엇이 있을까요? 

 

 

 

 

다음과 같이 1사분면만 가져간다고 해봅시다. 이러면 이 공간은 양수 성분을 가진 벡터밖에 사용하지 못해 스칼라 곱을 하면 문제가 생기게 됩니다. 만약 양수 벡터에다 -2 같은 값을 곱하게 된다면 3사분면으로 이동하게 되어 우리가 가진 공간으로는 표현하지 못하게 됩니다.

 

- 이렇게 모든 선형결합에 대해서 닫혀있지 않으면 벡터공간이라고 하지 않습니다.

 

이때 저 작은 공간을 부분공간 (subspace) 라고 부릅니다. 우리는 벡터공간에서 모든 부분이 필요하지 않습니다. 위와 같이 일부 공간도 우리가 필요한 선형결합을 포함할 수 있습니다.

 

 

만약 다음과 같이 한 가지 벡터에 대해서 모든 스칼라 곱을 표현할 수 있는 선이 존재한다고 할 때 이것을 부분공간이라고 부를 수 있을까요?

 

 

이때 한 가지 조건이 붙게 되는데 $R^2$의 부분공간이 되려면 위 사진과 같이 선이 원점을 통과해야합니다.

- 영벡터를 포함해야한다.

 

 

다음과 같이 영벡터를 포함하지 않는다면 부분공간이 아닙니다.

 

 

 

$R^2$의 부분공간은 몇 개가 있을까요?

1. 일단 전체공간 그 자체도 부분공간으로 취급합니다.
2. 그 다음은 0을 지나치며 양 방향으로 무한히 나아가는 선들
3. 영벡터

 

1번은 2차원 공간이고 2번도 하나의 1차원 공간과 같습니다. 2번을 $R^1$공간이라고 할 수 있을까요? 많이 닮긴했지만 $R^2$의 부분공간으로 2개의 성분을 가진 벡터이고 $R^1$은 1개의 성분으로 이루어진 벡터이기 때문에 두 공간이 같다고 할 수 없습니다.

 

 

 

위와 같이 3차원 공간에 존재하는 행렬이 있습니다. 이 행렬의 column 원소들이 3개이므로 3차원에 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 이 행렬이 가지는 2개의 벡터로 선형결합을 통해서 3차원 공간에 평면을 하나 만들 수 있기 때문에 이 행렬은 $R^3$의 부분공간이라고 할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

요약

 

- 치환행렬의 역행렬은 전치를 하면 된다.

- 대칭행렬은 $A^T = A$ 조건을 만족하는 행렬을 말한다.

- rectangular matrix로 대칭행렬을 만들려면 $R^TR$로 만들 수 있습니다.

- 벡터공간은 벡터가 필요한 작업들을 할 수 있는 공간이고 부분공간은 벡터공간의 일부분입니다.

- 부분공간이 되려면 원점을 포함해야합니다.