3차원 벡터라면 어떻게든 3차원 공간 안에 존재합니다.
$R^3$의 부분공간은 다음과 같이 원점을 가지는 평면과 원점을 지나는 직선입니다.
평면을 P, 직선을 L이라고 하겠습니다. 그러면 $P \cup L$도 부분공간에 해당할까요? (아니요)
- 선형결합의 규칙이 성립되지 않습니다. 임의의 상수를 곱하거나 공간 내의 다른 원소끼리 더해도 같은 공간에 존재해야 하는데, 각자 다른 공간에 있는 것들도 합친 것이기 때문에 불가능합니다.
- 만약 직선이 평면 위에 존재하다면 가능할 것입니다. 이 경우 선형결합과 벡터 덧셈, 스칼라 곱을 해도 같은 벡터 공간에 존재하기 때문입니다.
사진속 평면과 직선은 원점만 공유하게 됩니다. 서로 다른 공간에 존재하지만 원점은 똑같이 지나갑니다.
여기 한 행렬이 있습니다. 이 행렬의 span이 $R^4$ 공간을 다 채울 수 있을까요? column vector들이 3개만 존재하기도 하고 선형종속인 상태라 $R^4$를 전부 표현할 수 없습니다. $Ax = b$에서 $Ax$가 모든 b에 대한 해를 가지고 있지 않은 상태입니다.
행렬 A는 4개의 방정식과 3개의 미지수를 가지고 있어서 column이 적어 4차원 공간을 다 채울 수 없습니다. 행렬의 열벡터 조합이 표현할 수 없는 b값이 존재합니다.
- 방정식은 4개이고 미지수가 3개라 4개의 방정식을 모두 만족하는 값들을 찾을 수 없습니다. (하지만 몇몇 경우에는 찾을 수 있습니다.)
여기서 만약 b가 영벡터라면 이 선형 시스템은 풀 수 있습니다.
$Ax = 0$
그 외에도 우변을 잘 선정해준다면 풀 수 있습니다.
이 경우에는 미지수를 $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right]^T$로 둔다면 풀 수 있습니다.
- b 벡터가 A의 span에 존재하기 때문에 $Ax = b$를 풀 수 있습니다.
여기서 질문 하나가 있습니다. 행렬 A의 3번째 column은 독립적일까요?
- 1번째 2번째 column vector들을 더하면 3번째가 나오므로 종속된 형태입니다.
Null space
$Ax = 0$을 만족시키려면 선형종속이여야 합니다. 그래야지 서로 빼서 0이 나옵니다.
이걸 만족시켜주는 x벡터는 2개가 존재합니다.
1. 영벡터
2. $\left[\begin{matrix} 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right]^T$
2번째 벡터를 $R^3$차원에 표현해보겠습니다.
$Ax = 0$에 대한 솔루션 x의 집합이 항상 $A$의 부분공간이 되는지 확인해봐야 합니다.
null space에 2개의 벡터 $v$, $w$가 존재한다면
$Av + Aw = 0$
$A(v + w) = 0$
- null space에 존재하는 성분끼리 더하면 0이 나온다는 의미인 것 같습니다.
- 벡터 v와 w의 선형조합도 null space에 존재한다. 그렇기 때문에 이 벡터 집합은 항상 $A$의 부분공간에 존재한다.
요약
- n차원 벡터는 $R^n$ 벡터 공간에 존재한다.
- $R^3$ 차원 상에 원점에서 교차하는 두 평면 P, U가 존재할 때 $P \cup U$는 부분공간이 될 수 없다. ($P \ cup U$의 모든 공간을 각 평면들의 벡터로 표현이 불가능하다.)
- 부분공간은 영벡터를 포함해야한다.
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