7. 선형방정식(Solving Ax = 0: Pivot Variables, Special Solutions)

 

 

이번 강의에서 배울 내용들은 크게 3가지입니다.

 

• computing the null space($Ax = 0$)
• pivot variables - free variables
• special solution

 

 

$Ax = 0$을 푸는 알고리즘은 무엇이 있을까요?

 

 

이 A 행렬의 column space와 row space에 대해서 생각해보겠습니다.

여기서 2열은 1열의 배수라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 3행은 1, 2행의 합으로 나타낼 수 있습니다.

 

- 전부 dependent 한 상태

 

$Ax = 0$을 소거를 통해 풀어보겠습니다.

 

•   $\left[\begin{matrix} 2 & 4 & 6 & 8\end{matrix} \right] - 2 \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 4\end{matrix} \right]$ 

- 이렇게 되면 두 번째 피벗 자리에 0이 나타나게 됩니다. row 교체를 해주어야 될 것 같습니다. (2행에서 1행을 뺀 경우)

 

• $\left[\begin{matrix} 3 & 6 & 8 & 10\end{matrix} \right] - 3 \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 4\end{matrix} \right]$

- 3번째 row를 사용해도 같은 문제가 발생합니다. row 교체로도 문제를 해결할 수가 없습니다. (3행에서 2행을 뺀 경우)

 

 

이렇게 된 경우에는 다음과 같이 3행에 2행을 빼주어 나머지 성분이 전부 0이 되도록 만들어 주면 됩니다. 이 행렬을 $U$라고 부르겠습니다.

 

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$

 

상삼각행렬이 나오는 것이 아니라 이렇게 계단 형태로 나오게 됩니다.

 

이 행렬의 피벗은 2개입니다. 피벗을 가지고 있는 column들을 pivot column이라고 부릅니다. 여기서는 1열 2열이 pivot column이 됩니다.

 

그리고 나머지 2개의 column을 free column이라고 부릅니다.

 

- $Ux = 0$의 해를 구할 때 free column에 대응되는 변수는 우리가 원하는 임의의 값을 자유롭게 설정할 수 있습니다.

- 즉 $U$ 행렬의 free column에 곱해질 $x$ 벡터의 원소들을 자유롭게 설정할 수 있다는 것입니다.

 

 

이제 선형 시스템이 아닌 방정식으로 다시 보겠습니다.

 

$x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0$

$2x_3 + 4x_4 = 0$

 

역치환을 통해 $x_1, x_3$를 찾을 수 있습니다.

 

 

$x = \left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{matrix} \right]$

 

나머지 부분은 0으로 만들고 두 번째 column이 첫 번째 column의 2배이니 -2배를 해줍니다. 이렇게 null space에 존재하는 벡터를 찾았습니다. 이 벡터에 스칼라 곱을 통해서 새로운 벡터를 얻거나 아니면 free column들에 다른 값을 곱해줘도 새로운 벡터를 얻을 수 있습니다.

 

null space는 special solution의 모든 조합이 포함되어있습니다. special solution이란 방금 우리가 위에서 구한 벡터들이고 이 벡터들의 선형 조합이 null space에 포함된다는 것입니다.

 

 

피벗의 개수는 해당 행렬이 가지는 rank를 의미합니다.  $R^n$ 차원에서 피벗 r개를 가진 행렬이 존재한다면 해당 행렬에는 몇 개의 free column이 존재할까요?

 

 

- $n - r$ 위에 같은 행렬이라면 $ 4 - 2 = 2$ 총 2개의 free column이 존재하는 것!

 

 

Reduced row column form

 

 

다음과 같이 

 

1. 1행에 2행을 뺌

2. 2행을 2로 나눔

 

2가지 방법을 통해 축소된 행렬 $R$을 얻어보겠습니다.

- 이렇게 바꿔도 solution은 변하지 않습니다.

 

위처럼 축소시킨 행렬을 다시 방정식 형태로 고쳐보면

 

$x_1 + 2x_2 - 2x_4 = 0$

$x_3 + 2x_4 = 0$

 

다음과 같이 미지수의 수가 줄어든 것을 알 수 있습니다. 

 

$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2  \end{matrix} \right]$

 

$\left[\begin{matrix}1 & 0  \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 2 & -2 \\  0 & 2 \end{matrix} \right]  $

 

$ I = \left[\begin{matrix}1 & 0  \\ 0 & 1 \end{matrix} \right], F = \left[\begin{matrix} 2 & -2 \\  0 & 2 \end{matrix} \right]  $

 

각각 pivot column과 free column을 묶으니 pivot column은 identity matrix가 되고 free column은 upper triangular matrix 가 된 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

$RN = 0$

$N = \left[\begin{matrix} -F  \\ I \end{matrix} \right]$

 

 

 

 

요약

 

- 소거를 진행했을 때 피벗이 존재하는 열을 pivot column이라고 하고 나머지 부분은 free column이라고 한다.

- 소거된 행렬 $U$에 대해서 $Ux = 0$의 해를 구할 때 free column에 대응되는 변수는 우리가 원하는 임의의 값을 자유롭게 설정할 수 있다.

- pivot = rank, 즉 $R^n$ 차원에 r개의 피벗을 가진 행렬이 존재한다면 이 행렬의 free column의 개수는 $n - r$