9. Independence, Basis and Dimension

 

 

이번 강의에서는 선형독립(Independence), span, basis, 차원(Dimension)에 대해 배워보겠습니다.

 

열이 n개 이고 행이 m개 일 때 (n>m)인 행렬이 있다고 해보겠습니다. 이 행렬은 n이 m보다 크니 1개 이상의 free column이 존재할 것입니다. 그래서 free variable도 1개 이상 존재하게 되고 여기에 0이 아닌 임의의 값을 넣으면 $Ax = 0$를 만족하는 x값 중 0이 아닌 값을 찾게 됩니다.

 

 

Linear independence

 

선형독립이란 벡터들이 존재할 때 모든 계수가 0인 경우를 제외하고 선형 조합으로 0을 만들 수 없을 때 그 벡터들을 독립이라고 합니다. 예를 들어 설명해보겠습니다.

 

 

 

Q1.

 

다음과 같이 $v$와 $2v$가 존재할 때 이 두 벡터는 독립일까요?

- $v$의 계수가 2일 때 다른 벡터를 표현할 수 있으니 이 벡터들은 독립이 아닙니다.

 

 

 

Q2.

 

그럼 영벡터 $v_2$와 $v_1$ 벡터가 존재할 때 이 벡터들은 종속일까요? 아니면 독립일까요?

 

$cv_2 - 0v_1$  (c는 0이 아닌 수)

 

모든 계수가 0이 아닌데 선형 조합으로 다른 벡터를 표현할 수 있기 때문에 종속입니다.

 

 

 

Q3.

 

 

3번째 사진은 2차원 벡터 공간에서 3개의 벡터들이 존재할 때 사진입니다. 종속일까요? 아니면 독립일까요?

 

- 해당 벡터들 중 2개의 선형 조합으로 2차원 벡터 공간을 전부 표현할 수 있을 것입니다. 즉 나머지 한 개의 벡터가 두 개의 벡터의 선형 조합으로 표현되니 종속입니다.

 

 

종속인 경우 $Ax = 0$을 만족시키는 null space 중 x = 0이 아닌 경우도 존재합니다. 독립인 경우에는 x = 0인 경우에만 해당 조건을 만족시킬 수 있습니다.

 

- null space가 x = 0 밖에 없다는 의미는 선형 조합으로 $Ax = 0$을 만족시키려면 모든 계수가 0이라는 의미입니다.

 

 

 

Span 

 

span은 모든 선형 조합의 결과물을 모아둔 것을 의미합니다. 

- 벡터들이 어떤 공간을 span한다 = 벡터들의 선형 조합으로 그 공간을 표현할 수 있다.

 

어떤 공간을 span하면서 독립적인 벡터들이 존재하는데 그 벡터들을 basis라고 부릅니다.

 

 

 

Basis

 

3차원 공간을 예시로 basis를 설명해 보겠습니다.

 

$\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right], \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right], \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] $ 

 

이 벡터들은 독립적이면서 선형 조합으로 3차원 공간을 표현할 수 있습니다.

 

$\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right], \left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} \right] $ 

 

이 벡터들은 독립적이지만 span으로 3차원 공간을 표현할 수 없습니다. 

- 두 벡터들의 span은 3차원 공간을 지나는 평면이다.

 

 

그럼 우리가 가지고 있는 벡터가 어떤 차원의 기저인지 어떻게 알 수 있을까요?

 

- 그 벡터들을 모아 행렬의 column vector로 만들고 가우스 소거를 통해 echelon form 행렬을 만들어서 pivot, 행렬의 rank를 확인해보면알 수 있습니다. ($R^n$일때 n개의 독립벡터가 필요합니다.)

 

 

 

Dimension

 

위에서 사용한 벡터들 중 

 

$\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right], \left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} \right] $

 

 

이 벡터들은 3차원 공간에 존재하고 독립이지만 $R^3$의 기저가 아니었습니다. 그 이유가 벡터의 수가 공간의 차원을 의미하는데 이 벡터들은 2개 밖에 존재하지 않습니다. 즉 3차원 공간의 2차원 평면에 대한 기저이지 3차원 공간의 기저가 아닙니다.

 

 

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{matrix} \right], \left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} \right] $

 

다음과 같은 행렬이 존재할 때 이 행렬의 column vecotor 들은 A의 column space를 span하지만 종속이기 때문에 column space의 기저 벡터가 될 수 없습니다.

 

- 실질적으로 공간을 만드는 pivot column이 2개밖에 존재하지 않음! free column들이 존재!

 

이제 A의 null space에 대해서 알아보겠습니다. free column들이 존재한다는 것은 $Ax = 0$을 만족시키는 x값중 0이 아닌 벡터가 존재한다는 것입니다. 

 

$N(A)$는 

 

$\left[\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right], \left[\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] $

 

이렇게 2개가 존재합니다. 이 두 벡터는 null space를 span할 수 있고 독립적인 벡터들입니다.

 

- null space의 기저 벡터들!

 

마지막으로 null space의 rank와 column space의 관계에 대해서 알아보겠습니다.

 

$dim$ $C(A) = r$

 

$dim$ $N(A) = n - r$ 

 

행렬 A의 null space rank는 다음과 같이 column 개수 n개에서 pivot column을 뺀 것과 같습니다.

 

 

 

요약

 

- 벡터들이 존재할 때 선형결합으로 다른 벡터를 만들 수 있다면 선형종속입니다.

- 기저벡터는 독립적이고 공간을 span하는 벡터를 말합니다.

- 벡터들로 행렬을 만들어서 소거를 한 뒤 피벗 개수를 통해서 기저벡터인지 아닌지를 알 수 있습니다.

- 선형종속인 행렬이 가역행렬이 될 수 없는 이유는 소거를 진행하면 항등행렬이 나오지 않기 때문입니다.