19. Determinant Formulas and Cofactors

 

 

우리가 이전 시간에 정리했던 행렬식(determinant)의 10가지 특성에 대해서 배웠습니다. 이 10개의 특성은 3개의 특성을 기반으로 나머지 특성들을 정의할 수 있습니다. 이 3개의 특성을 다시 정리해보겠습니다.

 

기반이 되는 주요 특성 첫 번째는 단위행렬의 determinant는 1이 나온다는 것이고 두 번째는 행 교환을 하면 부호가 바뀝니다.

 

$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1  \notag \end{vmatrix} = 1$, $ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0  \notag \end{vmatrix} = -1$

 

세 번째는 다음과 같이 분리가 된다는 것입니다.

 

 

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d  \notag \end{vmatrix} $ $= \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d  \notag \end{vmatrix}$ $+$ $\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d  \notag \end{vmatrix}$

 

이 세 번째 특성을 이용하여 다음과 같이 행렬식을 분리하여 정리할 수 있습니다. 이렇게 분리하면 계산이 간단해집니다. 원소가 0인 column을 가질 경우 차원보다 rank가 낮기 때문에 0이 나오고 대각행렬들은 대각 원소들을 곱해주면 됩니다.

 

$ \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d  \notag \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d  \notag \end{vmatrix} = $$\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0  \notag \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d  \notag \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0  \notag \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ 0 & d  \notag \end{vmatrix}$

 

- 여기서 대각 원소들을 곱해서 더해줄 경우

 

$\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0  \notag \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \notag \end{vmatrix}$

 

$= ad + \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \notag \end{vmatrix}$

$= ad + (-1) \times \begin{vmatrix} 0 & a \\ d & 0 \notag \end{vmatrix}$

$= ad - bc$

 

이런 방식으로 더 큰 행렬을 풀어줄 수도 있습니다.

 

 

$3 \times 3$ 도 다음과 같이 분리가 됩니다.

 

 

 

Big Formula

 

이 공식은 $n \times n$에 대한 determinant를 계산할 수 있는 공식입니다. 행렬식을 분리시킬 때 가용 가능한 행렬식 개수는 $n!$ 이때 절반은 플러스 절반은 마이너스입니다. 첫 번째 행이 n번 진행하고 나면 그다음의 경우의 수는 $(n - 1)$입니다

 

 

이 행렬의 행렬식은 24 종류의 항이 있지만 그중 대부분은 0일 것입니다. 여인수를 사용하여 big formula를 분할하는 경우 $n \times n$의 행렬식은 한 단계 작은 크기인 $(n-1) \times (n-1)$와 연결해 줍니다. 

 

예시로 다음과 같은 $3 \times 3$ 행렬이 있다고 해보겠습니다.

 

$\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right]$

 

big formula를 통해 나열을 해주면

 

$a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - ... - a_{13}a_{22}a_{31}$ 다음과 같이 전개될 것입니다. 이것들이 크게 $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ 들로 묶을 수 있는데 부호를 바꿔 묶어주면 아래 사진과 같이 $a_{11} (a_{22}a_{33} - a{23}a_{32})$로 묶입니다. 이것을 여인수라고 합니다.

 

 

이전에 복잡했던 식들을 겹치는 변수로 묶으면 다음과 같은 형태로 되는데 마치 $2 \times 2$행렬식을 한 것에 $a_{11}$을 곱하는 형태입니다. $(n-1) \times (n-1)$과의 접점!

1행에 대해서 진행했지만 어떤 행을 사용하여 진행하더라도 상관이 없습니다.

 

 

$a_{ij}$에서 $i + j$가 홀수면 마이너스고 짝수면 플러스가 됩니다. 그리고 괄호에 있는 값들은 여인수(cofactor)라고 부르고 표기는 C로 표기합니다.

 

 

다음과 같이 1행에 있는 여인수에 대한 값을 정리할 수 있습니다. 이것이 1행에 대한 cofactor 공식

이 공식을 사용하여 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 구해보겠습니다.

 

$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \notag \end{vmatrix} = ad + b(-c)$