18. Properties of Determinants

 

이제까지 rectangular matrix에 집중했기 때문에 이번에는 sqaure matrix에 대해서 공부해 보겠습니다.

 

square matrix에서 행렬식이 필요한 가장 큰 이유는 고유값 때문입니다. 행렬식은 가끔 $det$ $A$ 또는 $|A|$로 표기되기도 합니다. 이 강의에서 이렇게 적혀있으면 행렬식을 의미하는 겁니다.

 

 

행렬식은 역할은 무엇일까요?

 

- 역행렬이 존재하는지 안 하는지 구분할 수 있습니다. 행렬식 값이 0이 아닐 때는 역행렬이 존재하지만 0일 때는 역행렬이 존재하지 않습니다.

 

$\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] = ad - bc$

 

다음과 같은 공식을 통해서 알 수 있습니다.

 

 

 

행렬식(determinant)의 특징

 

1. $det$ $I = 1$, 단위행렬의 행렬식은 1입니다. 단위행렬의 경우 행렬식을 해보면 (1 - 0) = 1과 같은 형태가 나옵니다. 

 

 

 

2. Exchage rows: reverse sign of det (row 교환에 따라 행렬식 부호가 바뀝니다.)

 

 

 

 

3. 행렬에 대해 한 행에 t를 곱하고 다른 행을 그대로 두면 다음과 같이 정리될 수 있습니다.

 

 

덧셈에 대해서도 적용이 됩니다. 

 

 

 

행렬식은 선형 함수와 유사한 성질을 가집니다. 다른 모든 행이 동일하게 유지되면 첫 번째 행의 선형 함수처럼 작동합니다. 한 row를 제외한 나머지 row는 모두 그대로 둬야 합니다.

 

어느 정도 부분에서는 선형 함수라고 할 수 있지만

 

$det$ $A + B \neq $ $det$ $A +$ $det$ $B$

다음과 같이 선형성이 모든 row에 대해서 동시에 적용되지 않음을 알 수 있습니다. (어떤 정방행렬의 행렬식은 각 row에 대해서만 독립적으로 선형성이 나타난다.)

 

 

 

4. 두 개의 같은 행이 존재하면 행렬식이 0이 됩니다. (종속인 행이 존재하는 경우 역행렬이 존재하면 안 되니 0이 된다.)

 

 

 

5. 소거를 하더라도 행렬식은 처음과 같습니다.

 

 

소거를 진행해주기 위해서 a와 b에 어떠한 상수를 곱한 후 다음 행에 빼주는데 위에서 배운 공식대로 다음과 같이 분리가 가능해집니다. 이때 마지막 부분을 보면 행이 겹치니 0이 나오는 것을 알 수 있습니다. 

 

$(ad - bc) - l(ab - ab) = ad - bc$

 

오른쪽이 0이 되니 행렬식이 이전과 같음!

 

 

 

6. 모든 원소가 0인 row가 하나라도 존재한다면 행렬식은 0입니다. (rank가 n보다 작아져서 역행렬이 존재하지 않는다.)

 

 

 

7. 삼각행렬의 행렬식은 대각 원소의 곱으로 구할 수 있습니다. (대신 대각 성분이 0이 아닐 때만, 소거를 통해 삼각행렬이 되어도 적용 가능!)

 

    - pivot의 곱으로 표현이 가능하다. (행 교환이 이루어지지 않을 때의 pivot)

 

$u_1 =  \begin{vmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2  \notag \end{vmatrix}$

 

위에서 배운 대로 첫 번째 행에서 분리를 진행해보고 두 번째 행에서도 분리를 해보겠습니다.

 

$u_1 =  d_1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & d_2  \notag \end{vmatrix}$

 

$u_1 =  d_1 d_2 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1  \notag \end{vmatrix}$

 

여기서 첫 번째 규칙을 사용하면 $det = $ $d_1d_2 \times 1$

 

 

 

8. 행렬식을 통해서 역행렬의 존재하는지 판단할 수 있다. 행렬식이 0이라면 종속되는 행이 존재한다는 의미로 가역적이 아니게 됩니다. 

 

 

 

9. 역행렬, 제곱에 대해서

• $det$ $AB = ($$det$ $A$)($det$ $B$)
• $det$ $A^{-1} = $$1 \frac 1{det A}$

덧셈에 대해서는 성립되지 않았지만 곱셈에 대해서는 성립합니다.

 

• $det$ $A^2$ = $(det$ $A)^2$ 
• $det$ $2A$ = $2^ndet$ $A$

한 행에 2가 곱해지면 세 번째 속성을 이용해 분리할 수 있어서 상수를 곱한 만큼 제곱이 됩니다.

 

 

 

10. $det$ $A^T = $$det$ $A$, 대각 성분에는 변화가 없으니 전치해도 변화가 없습니다.

 

$|A^T| = |A|$

 

$|U^TL^T| = |LU|$ (9번째 속성을 통해서)

$|U^T||L^T|= |L||U|$

$|U^T| = |U|$