1. 선형대수의 기초

본 내용은 edwith에서 인공지능을 위한 선형대수 내용 통해 작성되었습니다.

선형대수의 기본적 요소

• Scalar
  • 하나의 숫자
    
• Vector
  • 순서가 정해진 array
  • 순서가 정해지지 않은 array는 set
    
• Matrix
  • 행렬, 기본적으로 행렬은 2-dimensional array를 뜻합니다.
  • Matrix의 사이즈는 = $row \times column$Row vector의 shape은 (1, n), Coulmn vector의 shape은 (n, 1)의 형태입니다. (Column은 기둥이라는 의미를 가집니다, 세로로 서있는 기둥을 생각하면 조금 더 구분하기 쉬워집니다.)

Row vector을 Transpose 하면 Column vector가 나옵니다. Transpose는 아래 사진과 대각선을 중심으로 성분들이 바꿔줍니다.

Matrix Notations

1. Square matrix(rows = columns)
   • $A \in R^{(n \times n)}$
2. Rectangular matrix
   (rows $\neq$ columns)
   • $A \in R^{(m \times n)}$
3. Transpose of matrix
   • $A^T$ 이렇게 표기합니다.
4. 특정 원소를 표현할 때
   • $A_{ij}$이것은 (i, j) 행과 열의 인덱스를 의미합니다.

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1. 덧셈
   • 각각의 원소들끼리 더해줍니다.
2. 스칼라 곱(상수배)
   • 브로드 캐스팅을 해주어 모든 원소에 상수배를 해줍니다.
3. Matrix - matrix multiplication
   • 왼쪽의 행과 오른쪽의 열을 각각 곱하고 더한 값입니다.
   • $(1 \times 2) (2 \times 3)$ 이렇게 열과 행이 맞아야 곱이 가능!
4. 내적
   • $(1 \times 2) (2 \times 1) = (1 \times 1)$

     벡터들로부터 스칼라를 만드는 것

5. 외적
   • $(3 \times 1) (1 \times 3) = (3 \times 3)$

     벡터들로부터 행렬을 만드는 것

행렬 연산 주의사항!

• $AB \neq BA$ 교환법칙이 성립되지 않습니다. (특수한 경우에는 성립이 될 때도 있습니다.)
• 간단하게 생각하면 매트릭스의 사이즈를 맞춰 연산이 진행되기에 교환을 해버리면 사이즈가 달라지므로 다른 연산이 됩니다.
• 그리고 연산에 순서가 있으므로 교환해버리면 다른 값이 나와버립니다.

다른 법칙

1. 분배법칙 성립

   • $A(B + C) = AB + AC$

2. 결합법칙 성립

   • $A(BC) = (AB)C$

3. Property of transpose

   • $(AB)^T = B^TA^T$ 이런 성질을 가집니다.

4. 역행렬에서

   • $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$